गणित म्हणजे नक्की काय ?

जगदीश काबरे

गणित म्हणजे नक्की काय? संख्या म्हणजे काय? आणि अनुभवाशिवाय गणित कसे उभे राहते? हे प्रश्न प्रथमदर्शनी कठीण वाटतात, पण थोडा विचार केला तर ते प्रश्न कठीण नसतात हे आपल्या लक्षात येईल. गणित म्हणजे केवळ आकड्यांच्या बेरीज-वजाबाकीचे शास्त्र नाही; तर ते त्याहून खूप व्यापक आहे. आपण म्हणतो ते ‘तीन’, ‘दहा ’, ‘शंभर’ हे आकडे स्वतः वस्तू नसतात. ‘तीन’ हा आकडा दिसत नाही; दिसतात त्या तीन वस्तू. उदा. तीन सफरचंद, सात दगड आपण त्या वस्तूंच्या मोजणीतून ‘तीन’ म्हणजे किती, ’सात’ म्हणजे किती, ही कल्पना तयार करतो. म्हणजे संख्या ही प्रत्यक्ष जगात दिसणारी वस्तू नाही, पण मनाने बनवलेली एक समजूत, एक अमूर्त कल्पना आहे. गणित अशाच अनेक अमूर्त कल्पनांचा वापर करून उभे राहते.

---

गणिताविषयी विचार करताना सर्वप्रथम समोर येतो तो त्याच्या स्वरूपाचा प्रश्न. गणित हे केवळ संख्यांविषयीचे शास्त्र आहे अशी सोपी व्याख्या अपुरी ठरते, कारण संख्या हा गणिताचा एक भाग असून संपूर्ण गणिताची व्याप्ती त्यापेक्षा फार मोठी आहे. संख्या स्वतः इंद्रियगोचर वस्तू नसतात; आपल्याला त्यांचे प्रत्यक्ष संवेदन होत नाही. म्हणून गणित हे मूलत: अशा अमूर्त संकल्पनांचे, त्यांच्यातील संबंधांचे आणि त्या संबंधांतील सुसंगततेचे शास्त्र आहे असे म्हणावे लागते. या अमूर्तपणा मुळेच गणित अनुभवावर अवलंबून नसते, तर ते ‘निगमी’ म्हणजेच न्यायनिष्ठ, कडक तर्काच्या आधारावर उभे राहते. गणितातील निगमनपद्धतीची सुरुवात मूलविधाने, ज्यांना गृहीतके (axioms) असेही म्हणतात. यांच्यापासून होते. ही मूलविधाने आपण थेट इंद्रिय अनुभवावर आधारून घेत नाही. ती आपण ‘मान्य’ करतो, कारण त्यांत विरोधाभास नाही, त्यांच्यापासून निघणारी तर्कसंगत बांधणी शक्य आहे, आणि ती संपूर्ण प्रणाली एकसंध ठेवतात. याचा अर्थ ती ‘प्रमाण ’ आहेत म्हणून स्वीकारलेली नसतात, तर ती गृहितके असून त्यांचा योग्य तर्काने विस्तार करता येतो हेच त्यांचे प्रामाण्य. मूलविधानांचे प्रामाण्य समजण्याचा निकष म्हणजे अंतर्गत सुसंगती, विरोधाभासाचा अभाव आणि तर्कशुद्ध सुसंगती असतात. मूलविधानांपासून एखादा सिद्धान्त ‘अनिवार्यपणे’ निष्पन्न होतो का हे आपल्याला शुद्ध तर्कविचाराने कळते; अनुभवा पेक्षा विचारशक्ती इथे निर्णायक ठरते. म्हणजे गणिताची पद्धत अनुभवावर आधारित नसते. गणितातील सिद्धान्त हे ‘मी पाहिले त्यामुळे खरे’ असे नसून ‘मी तर्काने सिद्ध केले त्यामुळे खरे’ असे असते. यासाठी गणित काही मूलविधाने (axioms) ठरवते. ही मूलविधाने जगात खरी आहेत म्हणून आपण घेतो की त्यावर सुसंगत गणित बांधता येते म्हणून घेतो? उदा . ‘सपाट पृष्ठभागावर दोन सरळ रेषा एकमेकांना एकाच बिंदूत छेदतात’, हे मूलविधान आपण शाळेत शिकतो. आपण ते गृहित धरतो आणि त्यातून तर्क लावून पुढची संपूर्ण भूमिती उभी करतो. हे मूलविधान शाब्दिक अर्थाने ‘सिद्ध’ नसते; तर ती एक ‘तर्कशुद्ध मांडणी’ आहे. तिच्यावर उभारलेल्या पद्धतीमध्ये विरोधाभास निर्माण होत नाही. हा विरोधाभास नसणे आणि सुसंगती टिकणे हेच ते मूलविधान “बरोबर” असल्याचे निकष आहेत.

तर मग प्रश्न असा उरतो की, अशा अमूर्त, विचाराधिष्ठित गोष्टी माणूस समजू कसा लागला? त्यासाठी एक विशिष्ट मानसिक क्षमता असावी लागते. ज्या प्रकारे आपण भाषेमध्ये व्याकरणाचे नियम धरतो आणि वाक्ये तयार करतो, त्याचप्रमाणे गणितामध्ये मन अमूर्त नियम धरते आणि त्यावर आधारित तर्कबद्ध बांधणी करते. ही क्षमता केवळ गणितापुरती मर्यादित नाही, तर तर्कशास्त्र, विज्ञान, भाषा, संगीताची रचना, कायदे, दैनंदिन विचारसरणी अशी सगळीकडे ती दिसते. यामुळे पुढचा प्रश्न निर्माण होतो की, अशी तर्कशक्ती किंवा गणनशक्ती मनात आहे ती नेमकी काय आहे? गणिताला आधारभूत अशी काही विशेष ज्ञानशक्ती मनात आहे का? हा प्रश्न दीर्घ तत्त्वज्ञानी परंपरेत चर्चिला गेला आहे. प्लॅटोने गणितीय सत्यांना अनुभवापलीकडील जगातील शाश्वत सत्ये म्हटले; कांटने गणिताला मानवी ज्ञानेच्छेची पूर्वअट (a priori form of intuition) मानले; तर आधुनिक तत्त्वज्ञान गणिताला भाषा आणि तर्क यांच्या संरचनेतून निर्माण होणारी सुसंगत व्यवस्था म्हणते. या सर्वांचा सामायिक आधार असा की गणितातील क्षमता ही माणसाच्या चिंतनशक्तीत म्हणजे अमूर्त तर्कशक्तीमध्येच निवास करते. ही शक्ती फक्त गणितापुरती मर्यादित नाही; ती भाषा, सौंदर्यनिर्णय, विज्ञानातील प्रारूपे, कायद्यातील तर्कबद्धता, दैनंदिन निर्णयपद्धती यांमध्येही दिसून येते. म्हणून गणित ही मनाची एक विशेष क्षमता नव्हे, तर मनाच्या एकूण तर्कक्षमतेचे सर्वाधिक शुद्ध आणि स्वच्छ रूप आहे.

गणित आणखीन अद्भुत वाटण्याचे कारण म्हणजे निसर्गातील नियमसुद्धा गणिताने अचूकपणे समजतात. गुरुत्वाकर्षण, प्रकाशाचा वेग, आवर्तने, कणांचे वर्तन, या सर्व भौतिक जगातील घटना गणिती समीकरणांनी सुंदरपणे स्पष्ट होतात. म्हणजे आपण डोक्यात तयार केलेली तर्कशुद्ध अमूर्त रचना आणि विश्वातील प्रत्यक्ष घडणारे नियम यांत एक विलक्षण साम्य आढळते. हा केवळ योगायोग नाही. निसर्ग स्वतःच काही ठराविक नमुन्यांनी, नियमांनी आणि नियमिततेने भरलेला आहे. आणि मानवी मेंदूमध्ये नमुने शोधण्याची, नियम ओळखण्याची, त्यांना व्यवस्थितपणे मांडण्याची क्षमता आहे. म्हणून गणित व निसर्ग हे दोन वेगवेगळे नसून एकमेकांना प्रतिबिंबित करणारे आहेत. गणिताचा आश्चर्यकारक भाग म्हणजे त्याचे सृष्टीतील उपयोजन. भौतिकशास्त्रातील मूलभूत घटक अणू, कण, बल, ऊर्जा यांचे वर्णन आपण गणिती समीकरणांत करतो. विश्वातील हालचाली, रचना, बदल, आवर्तने, अपघात सगळे काही गणिती नियमांशी जुळून येते. हा केवळ योगायोग आहे का? गणित शिकवते ते मनाचे अमूर्त तर्करूप, आणि निसर्ग चालतो तो गणिताशी सुसंगत नियमांनी!

हे आश्चर्य अनेक विचारवंतांनी ‘unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences’ या नावाने चर्चिले आहे. या आश्चर्याचे उत्तर असे की, निसर्ग आपल्याला एका विशिष्ट प्रकारे आढळतो आणि त्या आढळण्यातले नमुने, पुनरावृत्ती, नियमितता ओळखण्यासाठी आपण वापरतो ते साधन म्हणजे गणित. निसर्गात रचना आहे, आणि त्या रचनेला समजून घेण्यासाठी गणित उपयुक्त ठरते; म्हणून गणित आणि निसर्ग यांचे नाते योगायोगांमुळे नसून मानवी संज्ञानशक्ती आणि निसर्गातील संरचना यांच्यातील ते सामंजस्य आहे. याहून पुढे एक मनोरंजक प्रश्न असा विचारला जातो की दुसऱ्या काही वेगळ्या प्रकारच्या विश्वाची कल्पना केली, जिथे नियम वेगळे आहेत तरी गणित लागू होईल का? या प्रश्नाचे उत्तर –होय असे आहे. कारण गणित म्हणजे निव्वळ विशिष्ट गोष्टींचे मोजमाप किंवा आकार नव्हे; तर गणित म्हणजे कोणत्याही गोष्टीतील तर्कशुद्ध संबंध समजून घेण्याची भाषा. विश्व वेगळे असले तरी त्यात काही ना काही प्रकारचे संबंध, बदल, परस्पर नाते असणारच, आणि त्यांना समजावून सांगणारी भाषा म्हणून वेगळे गणित उभे राहीलच. अर्थात, जर एखाद्या भिन्न प्रकारच्या विश्वाची कल्पना केली, जिथे नियम भिन्न आहेत, तरीही काही प्रकारचे ‘गणित’ तिथे असणारच. कारण गणित म्हणजे कोणत्याही सुसंगत प्रणालीतील संबंधांचे तर्कशास्त्र. विश्व कोणतेही असले तरी त्यातील घटक एकमेकांशी कसे संबंधित आहेत याची भाषा गणितच ठरवते. त्यामुळे गणित हे निसर्गाच्या बाहेरचे नाही, तर निसर्गातील रचना समजावून घेण्याची मानवी क्षमता आहे. ते मन आणि विश्व यांना सांधणारा एक पूल आहे. गणित ही अमूर्ततेतून उगवणारी पण जगातील प्रत्यक्ष प्रक्रियांना अचूक पकडणारी एक अद्वितीय विचारपद्धती आहे. या सर्व विवेचनावरून आपल्या लक्षात येते की, गणित हे निव्वळ संख्यांचे शास्त्र नसून तर्क, रचना, सुसंगती आणि संबंध यांचे शास्त्र आहे. संख्या हे त्यातील एक प्रकरण, परंतु गणिताचे अधिष्ठान म्हणजे मानवी विचारशक्तीची अमूर्त बांधणी करण्याची क्षमता. अनुभवाची गरज नसतानाही गणित उभे राहते, आणि अनुभवाच्या आधारानेही ते सिद्ध होते. यातच त्याची वैश्विकता आहे. गणित हे मनाला आणि निसर्गाला जोडणारे सर्वात सूक्ष्म आणि सर्वात शक्तिशाली साधन आहे.

म्हणून सारांश असा की, गणित हे संख्यांचे किंवा आकारांचे शास्त्र नसून संबंध, रचना, नियम आणि तर्क यांचे शास्त्र आहे. संख्या, आकार, समीकरणे ही त्याची साधने आहेत; परंतु त्यामागील मूलभूत शक्ती म्हणजे मानवाची अमूर्त विचार करायची क्षमता. म्हणूनच गणित आपल्याला दिसत नाही, पण संपूर्ण विश्व समजण्याची किल्ली गणितच देत असते.

(लेखक विज्ञान प्रसारक आहेत.)