√2 अपरिमेय का आहे?

किरण बर्वे

√2 ही संख्या गणितातील एक अत्यंत रोचक संख्या आहे, जी अपरिमेय संख्या या संकल्पनेत येते. प्राचीन भारतातील अनेक गणितींनी यावर विचार केल्याचे पुरावे मिळतात. तसेच प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पायथागोरस यांच्या शिष्यांनी प्रथम √2 ही संख्या अपरिमेय असल्याचे शोधले असाही दावा केला जातो. अपरिमेय संख्या म्हणजे ती दोन पूर्णांकांच्या भिन्नरूपात व्यक्त करता येत नाही. ही संख्या विशेषतः पायथागोरस सिद्धांत मध्ये दिसून येते. जर एखाद्या चौरसाची बाजू 1 असेल, तर त्याचा कर्ण √2 इतका येतो. या साध्या भूमितीय उदाहरणातूनच अपरिमेय संख्यांची कल्पना स्पष्ट होते. √2 बद्दलची उत्सुकता यामुळे वाढते की ती दशांश रूपात अनंत आणि अपूर्णांक स्वरूपात अचूक लिहिता येत नाही. ही संख्या सुमारे 1.414 अशी असते, पण तिचे अचूक मूल्य कधीच संपत नाही. यामुळे √2 ही संख्या गणितातील गूढता, सौंदर्य आणि तर्कशक्ती यांचे सुंदर उदाहरण मानली जाते.

‘अनंत घट’ (Infinite Descent) वापरून दोन भूमितीय सिद्धांत

अगदी ६वी, ७वीत असताना आपण अपरिमेय आहे हे ऐकलेले असते, लक्षात ठेवले असते. कधीतरी दोन वर्षानी आपण या विधानाची सिद्धता अभ्यासतो. एखादी संख्या अपरिमेय आहे का? हा विचार करण्यासाठी मुळात परिमेय संख्या म्हणजे काय हे नक्की माहीत असायला हवे, आणि त्याची एक सुटसुटीत व्याख्या आहे ती नीट समजावून घ्यायला हवी. जर एखादी संख्या त्या व्याख्येतील निकष पूर्ण करत नसेल तर ती संख्या परिमेय नाही असे आपण म्हणू शकतो आणि त्यासाठी योग्य कारण देऊ शकतो. परिमेय संख्या माणसाने तयार केल्या आहेत असे म्हणता येते. व्यवहार समजून घेण्यासाठी, तसेच व्यवहार न्याय्य पद्धतीने पूर्ण करण्यासाठी पूर्णांक संख्या अपुऱ्या ठरायला लागल्या. एका पेरूचे ५ भाग केले आहेत आणि दुसऱ्याचे सात तर हे पेरू एकत्र करून तीन जणांना समान वाटायचे आहेत तर पूर्णांक वापरून उत्तर मिळणा र नाही. एका पेरूचा ७ व भाग, ५ व भाग म्हणजे अनुक्रमे १/७, १/५.. मात्र यासाठी १/७, १/५ अशा संख्या हव्यात त्यांची बेरीज, वजाबाकी, गुणा कार आणि भागाकार म्हणजे काय ते सांगता यायला हवे. त्यात काय मोठेसे असे वाटेल, एक आडवी रेघ काढा वरती एक पूर्णांक आणि खालती एक पूर्णांक लिहा; झाली तुम्हाला हवी तशी संख्या. मात्र या संख्यांना व्यवहारास सुसंगत अर्थ असा यला हवा. त्यांच्या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकाराचे नियम तयार करायला हवेत आणि ते नियम हे पूर्णांक संख्यांच्यासाठी प्रचलित असलेल्या नियमांच्या आधारे तयार करायला हवेत. (परिमेय संख्यांचा विकास आणि त्या वरील क्रिया भारतीयांना खूप पूर्वीपासून ज्ञात होत्या. ब्रह्म्गुप्तांच्या ब्रह्मस्फुटसिद्धांत (इस ५९९) ग्रंथात याचे अतिशय नेमके, सुसूत्र वर्णन आहे.) अशा दोन पूर्णांकांच्या भागाकाराच्या स्वरुपात लिहिल्या जाणाऱ्या संख्यांना परिमेय संख्या म्हणतात.

परिमेय संख्यांची व्याख्या: a / b या स्वरुपात लिहिता येणारी संख्या, a, b हे पूर्णांक आहेत आणि b शून्य असणार नाही.

अपरिमेय आहे याचाच अर्थ, = a / b , a ,b पूर्णांक,आणि b≠ ०. अशा प्रकारे लिहिता येत नाही. म्हणजे जर कोणी, a आणि b ,b शून्येतर आहे व = a / b असे मांडले तर ती मांडणी चूक आहे असे आपण सिद्ध करू शकतो. जर आपण कोणत्याही प्रकारे, a, b घेतल्या आणि = a / b असे मानले तर या मांडणीत काहीतरी चूक सा पडली पाहि जे तर अपरिमेय आहे. असे म्हणता येईल.

गणितात एखादी गोष्ट सिद्ध करण्यासाठी ‘विरोधाभास’ (Contradiction) अप्रत्यक्ष सिद्धता ही पद्धत खूप प्रभावी ठरते. आपण सुरुवातीला असे मानतो की दिलेले विधान जे सिद्ध कराव याचे आहे ते विधान चुकीचे आहे. तर सिद्ध कराव याच्या विधानाचे नकारार्थी विधान बरोबर आहे असे मान्य करून, तर्कशुद्ध रीतीने पुढे जात असताना आपल्याला एक अशी पायरी/ विधान मिळते जे अशक्य आहे. असे विधान का मिळाले? आपण तर सर्व पायऱ्या तर्कशुद्ध रीत्या deduction चे नियम वापरून केल्या आहेत, लिहिल्या आहेत. मग आपण जे विधान योग्य आहे असे धरून चाललो ते विधान अयोग्य आहे असत्य आहे. आपण सिद्ध करायच्या विधानाचे नकारार्थी विधान सत्य मानले. आता सिद्ध झाले की हे नकारार्थी विधान असत्य आहे. म्हणून मग सिद्ध करायचे विधान सत्य असायला हवे. सिद्धता देण्याची ही अप्रत्यक्ष पद्धत आहे.

एक अंक गणितीय पद्धत :

√2 आपण असे मानू की √2 ‘परिमेय’ (Rational) संख्या आहे. याचा अर्थ ती p/q या स्वरूपात लिहिता येते आणि तिचे अंश व छेद हे पूर्णांक (Whole numbers) आहेत. q ≠ 0.

√2 p/q

जर p आणि q यांच्यात सामायिक विभाजक असेल तर तो काढून टाकू.

आता √2 p/q आणि p, q मध्ये एक ही सामयिक विभाजक नाही. P आणि q दोहोनाही भागेल अशी कोणतीही एक पेक्षा मोठी पूर्णांक संख्या नाही, √2 p/q या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू.

2 = P² / q²

P² = 2q²

याचा अर्थ २ ने P² ला भाग जातो. मात्र 2 ही मूळ संख्या आहे. मूळ संख्या जर क्ष च्या वर्गाला भागात असेल तर ती मूळ संख्या क्ष ला भागते.

2 ने p ला भाग जातो. P = 2r

P² = (2r)² = 4r²

P² = 2q²

4r² = 2q² ;

q² = 2r²

त्यामुळे वरील पायारीचाच तर्कानुसार २ ने q ला भाग जातो. २ ने p ला भाग जातो तसेच २ ने q ला भाग जातो. अरेच्च्या म्हणजे एकापेक्षा मोठ्या २ या संख्येने p आणि q ला भाग जातो. छे, असे होता कामा नये कारण आपण तर p, q मध्ये सामायिक विभाजक नाही अशी सुरुवात केली होती. बरे कोणत्याही परिमेय संख्येला अंश व छेदाला भाग देऊन अंश आणि छेद यांच्यात १ पेक्षा मोठा सामायिक विभाजक असणार नाही अशी स्थिती आणता येतेच. म्हणजे चूक त्या अगोदर केली आहे. अर्थात √2 p/q आपण असे लिहिणे शक्य आहे असे मानले तीच चूक आहे.

अर्थात √2 p/q नाही म्हणून परिमेय नाही.

भौमितिक सिद्धांत:

बोधायन पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार, ज्या काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान असतात (Isosceles Right Triangle), त्याच्या कर्णाचे (Hypotenuse) बाजूशी असलेले गुणोत्तर नेहमी √2 असते. म्हणजेच समद्विभूज काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाचे (Hypotenuse) बाजूशी असलेले गुणोत्तर नेहमी √2 असते.

BC² = AB² + CA²

समजा, √2 परिमेय आहे. याचा अर्थ असा आहे. ज्याच्या तीनही बाजू पूर्णांक आहेत असा काटकोन त्रिकोण आहे. हे विधान थोडे आश्चर्यकारक वाटेल. म्हणजे समद्विभूज काटकोन त्रिकोण, √2 परिमेय असणे आणि समद्विभूज काटकोन त्रिकोणाच्या सर्व बाजू पूर्णांक असणे यांचा संबंध काय असे वाटूच शकते. हीच तर गणितातील मजा आहे.

जर √2 परिमेय आहे तर, √2 = y/r

आपण बघि तले आहे की समद्विभूज काटकोन त्रिकोणात

कारण/बाजू =√2 = y/yr

म्हणजे a, a आणि yr/r a; बाजू असलेला समद्विभूज त्रिकोण काटकोन त्रिकोण आहे. r ने गुणून आपल्याला r.a, r.a आणि y.a बाजू असलेला,ज्याच्या तीनही बाजू पूर्णांक आहेत असा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे. असा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण (अस्तित्वात) असतो.

(y.a)² = (r.a)² +(r.a)²

(y.a)² = 2 (r.a)²

म्हणून Y² = 2r²

पण √2 y/r म्हणजेच y² = 2r²

तर सर्व बाजू पूर्णांक आहेत असा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे असे गृहीत धरणे, आणि √2 मानणे हे सारखेच आहे. दोन्ही विधाने एकसारखी आहेत.

पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे. समजा त्याच्या पूर्णांक बाजूना भागेल अशी एक पेक्षा मोठी पूर्णांक संख्या असेल तर तिने तीनही बाजूना भागले तरी त्याच गुणधर्मांचा पण लहान समद्विभूज काटकोन त्रिकोण मिळेल. या पद्धतीने पुढे जाऊन आपण तीनही बाजूचा म.सा.वी. १ आहे अशा त्वित्रीला येऊन पोचू. याचा अर्थ असा एक सर्वात लहान काटकोन त्रिकोण अस्तित्वात आहे ज्याच्या तिन्ही बाजू पूर्णांक आहेत. दोन समान बाजू a आहेत आणि कर्ण c आहे.

भूमितीय रचना

लहानात लहान, पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण त्रिकोण घेऊया. आता खालील रचनेद्वारा या त्रिकोणातून पूर्णांक बाजू a पेक्षा लहान, कर्ण c पेक्षा लहान असलेला पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण तयार करू:

समजा असे करण्यात आपण यशस्वी ठरलो तर या रचनेने तयार केलेल्या समद्विभूज काटकोन त्रिकोणापेक्षा लहान पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आपण केला.

1. प्रथम रचना समजून घेऊया.

त्रिकोण CAB. A कोन काटकोन आहे. BC कारण आहे,

BA = CA = a

BC कर्णावर B पासून a लांबीवर खणू करा. त्या बिंदुला D म्हणू.

CA =BA = BD

उरलेल्या भाग, DC = x समजू.

C = a + x

2. D पासून कर्णाला लंब (Perpendicular) रेषा काढा जी दुसऱ्या बाजूला CA ला E मध्ये छेदेल.

3. यामुळे कोपऱ्या त एक नवीन, लहान काटकोन त्रिकोण CDE तयार होईल. हा त्रिकोण CDE समद्विभूज पूर्णांक बाजू काटकोन त्रिकोण आहे. हे सिद्ध करू.

AB = BD = a , DC = c – a = x ,

DE लंब BC ,त्रिकोण CDE, हा काटकोन त्रिकोण आहे.

DE = DC = x हे सिद्ध करू.

कोन ECD = 45° कारण त्रिकोण CAB समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे. त्रिकोण CDE या काटकोन त्रिकोणाचा कोन 45° आहे, म्हणून दुसरा कोन CED ही 45°. म्हणजेच त्रिकोण CDE हा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे.

x हा पूर्णांक आहे का? जर x पूर्णांक असेल तर त्रिकोण CDE हा पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण असेल.

X पूर्णांक आहे कारण x = c – a आणि c, a दोन्ही पूर्णांक आहेत. म्हणजेच x हा पूर्णांक आहे. C > a , x धन पूर्णांक आहे. आता आपल्याला कर्ण CE, जो y ने दर्शव ला आहे, पूर्णांक आहे आणि, x हा a पेक्षा लहान आहे हे दाखवायचे आहे. EB जोडू या. त्रिकोण EAB एकरूप त्रिकोण EDB, कर्ण EB दोन्ही त्रिकोणा त सा मायि क आहे, DB = AB काटकोन त्रिकोणात कर्ण आणि एक भुजा समान असेल्यास त्रिकोण एकरूप असतात हे प्रमेय वापरून त्रिकोण एकरूप होतात. म्हणून EA = x , EA हा पूर्णांक आहे. काटकोन त्रिकोण CDE चा कर्ण CE = a – x , a , x हे पूर्णांक आहेत म्हणून CE = y हा पूर्णांक आहे. काटकोन त्रिकोण CDE पूर्णांक बाजू असणा रा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे.

आपण लहानात लहान बाजू असलेल्या समद्विभूज काटकोन त्रिकोणापासून सुरुवात केली आणि वर दिलेल्या रचनेद्वारा अजून एक लहान पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण तयार केला.

आता हीच क्रिया आपण त्रिकोण CDE साठी करू शकू. आकृती बघा, (या आकृतीचे वर्णन तुम्ही करावे.) त्रिकोण CHI हा अजून लहान पूर्णांक बाजू असणारा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे. या घसरगुंडीवरून आपण आता घसरायला लागलो आणि या क्रियेला अंत नाही.

रचना हे पुन्हा पुन्हा करता येईल. बाजू लहान होत जातील. सुरुवातीला असलेल्या त्रिकोणाच्या तीनही बाजू पूर्णांक असतील तर नव्याने तयार झालेल्या समद्विभूज काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूसुद्धा पूर्णांक असतील. या बाजू आधीच्या त्रिकोणाच्या बाजूंपेक्षा लहान असतील. धन ही क्रिया कधीही थांबणार नाही. खरेच आहे, ही अशी रचना आहे की पुन्हा पुन्हा करता येईल, दरवेळी अधिक लहान धन पूर्णांक बाजू असलेला समद्विभूज काटकोन त्रिकोण मिळेल. घसरगुंडीवरून एकदा घसरलो की थांबता येणार नाही. खाली जमीनच नाही अशी स्थिती. कारण अजून खाली, अजून खाली असे जातच राहणार. सुरुवातीला मानले होते की आमचा त्रिकोण सर्वात लहान पूर्णांक बाजू असलेला त्रिकोण आहे. पण रचनेतून आपल्याला त्यापेक्षाही लहान पूर्णांक बाजू असलेला त्रिकोण मिळाला. आपण ही प्रक्रिया अनंत वेळा करू शकतो. पण धन पूर्णांक संख्यांच्या जगात तुम्ही एखाद्या संख्येपेक्षा लहान, पुन्हा त्यापेक्षा लहान अशी अनंत मालिका तयार करू शकत नाही. उदा . १०, ९... शेव टी १ वर येऊन थांबावेच लागते आणि कितीही मोठी संख्या घेतली तरी जरा वेळ लागेल पण ती संख्या कामी कमी होत १ पेक्षा कमी होऊ पाहणारच. हे अशक्य आहे.

यालाच ‘Infinite Descent’ (अनंत घट) म्हणतात. ही मालिका संपत नाही, याचाच अर्थ असा ‘सर्वात लहान’ पूर्णांक त्रिकोण असूच शकत नाही. म्हणजेच √2 परिमेय असणे अशक्य आहे. म्हणजे आम्ही जे विधान सत्य मानले ते विधान की, परिमेय आहे खरे नाही. अर्थात अपरिमेय संख्या आहे.